An optimization-based numerical method for diffusion problems with sign-changing coefficients

A new optimization-based numerical method is proposed for the solution of diffusion problems with sign-changing conductivity coefficients. In contrast to existing approaches, our method does not rely on the discretization of a stabilized equation and the convergence of the scheme can be proved without any symmetry assumption on the mesh near the interface where the conductivity sign changes. Résumé Une méthode d’optimisation pour des problèmes de diffusion avec changement de signe. Nous proposons une nouvelle méthode, basée sur la résolution d’un problème de minimisation, pour l’approximation de problèmes de diffusion avec changement de signe. Cette approche, qui tire profit d’une reformulation du modèle initial sous la forme d’un problème de transmission, ne repose pas sur la discrétisation d’une équation stabilisée, et la convergence de la méthode est obtenue sans hypothèse de symétrie du maillage dans un voisinage de l’interface où la conductivité change de signe. Version française abrégée Dans cette note, nous introduisons une méthode d’optimisation pour l’approximation numérique de problèmes de diffusion dont la conductivité change de signe dans le domaine. La résolution numérique efficace de ce genre de problèmes est importante pour de nombreuses applications (e.g., super-lentilles, invisibilité), mais les méthodes existantes ne sont pour l’instant pas satisfaisantes. Dans [6], les deux approches envisagées reposent (i) sur la discrétisation d’une équation stabilisée, pour laquelle les taux de convergence obtenus sont sous-optimaux, ou (ii) sur des hypothèses de symétrie du maillage autour de l’interface où la conductivité change de signe, exigences pouvant s’avérer très contraignantes pour des interfaces générales (voir [3]) ou en 3D. La méthode numérique introduite ici, qui utilise une reformulation du modèle initial en un problème de transmission, ne repose pas sur l’ajout de dissipation à l’équation, et nous montrons sa convergence pour des problèmes elliptiques présentant un changement de signe sans aucune hypothèse de symétrie sur le maillage. Nous notons que cette méthode numérique a pour la première fois été introduite par Gunzburger et al. [9] (voir aussi [8]), dans un contexte de décomposition de domaine pour des équations elliptiques classiques, sans preuve de convergence. L’application de cet algorithme à des problèmes elliptiques présentant un changement de signe est introduite dans cette note, et la convergence de la méthode est démontrée. Email addresses: [email protected] (Assyr Abdulle), [email protected] (Martin E. Huber), [email protected] (Simon Lemaire).